AI 解决概率论中的“圣杯”问题

背景：渗流理论的“圣杯”

渗流理论研究众多小型随机事件如何涌现出连贯结构，例如海绵中的孔洞何时足够多，液体才能流过。其核心问题是网络连通性的阈值：高于该阈值时，网络很可能包含无限开放的连接；低于阈值时，这种可能性很低。更好地刻画这一转变，长期被视为该领域的“圣杯”。德国布伦瑞克工业大学数学家 Benedikt Jahnel 称，如果有人设法解决这个问题，他们很可能会获得 菲尔兹奖。

法国数学家 Hugo Duminil-Copin 也曾尝试寻找这一阈值。他因统计物理中的相变研究，于 2022 年获得菲尔兹奖，而相变与概率论相关。但在渗流理论猜想上，他和所有其他人一样未能成功。2026 年 8 月 30 日，Duminil-Copin 在新博客 Proofs and Prompts 发表文章表达担忧，认为 AI 很可能抢先一步，并写道：“我们领域最著名的猜想……落入推土机也只是时间问题。”就在他发表这些文字几天后，类似情况似乎真的发生了：AI 公司 Anthropic 发布了一个由 大型语言模型 生成的该猜想证明。Jahnel 表示：“这个结果唤起了矛盾的情绪。”一方面，猜想终于被证明令人欣喜；另一方面，最后的关键一步来自 AI，又让人有些幻灭。

关键细节：从 1957 年到 AI 证明

渗流理论诞生于 1957 年，由数学家 Simon Ralph Broadbent 和 John Michael Hammersley 提出，用于研究不同液体如何流过多孔介质。他们把介质建模为网络：节点对应孔洞，边对应液体通过的裂缝。可以把它想象成一个巨大的互联管道系统，每根管道都可以打开或关闭。

渗流理论关注哪些点相连、哪些点不相连。更具体地说，数学家想知道一个点（通常假定为原点）是否属于一个无限延伸的连通簇。再次想象巨大的管道系统，每根管道以某个概率开放或关闭。如果单根管道开放的概率 p 很低，那么原点属于无限连通管道簇的概率 θ(p) 为零；如果 p 很高，θ(p) 就会取更大的值。根据网络几何结构，存在一个阈值 pc，高于它时 θ(p) 大于零。这意味着开放概率 pc 标志着网络从有限连通向可能存在无限连通的转变。

但这些 pc 值极难计算。1980 年，数学家 Harry Kesten 成功找到二维正方格子的一个阈值，证明概率 1/2 是未连通系统与连通系统之间的边界。但迄今为止，人们只找到少数几个渗流阈值。几乎没有人认为可以确定 pc 的精确值。

文章称，渗流理论中最重要的争论之一，是从只有有限簇的系统向具有无限簇的系统的转变。在一维和二维正方格子中，数学家早已知道这种转变是连续的：原点属于无限大簇的概率 θ(p) 不会突然从零跳到有限值，而是随 p 从零连续上升到一。对于高维正方网格的推广，也可以证明同样结论。在高维网格中，点有许多邻居，可进行低维不适用的统计平均；当考虑 十一维或更高维 网络时，会出现连续转变。

长期的大谜题是：正方格子在其他维度中的转变是什么样？θ(p) 在 3、4、5……10 维中随 p 增加如何变化？Anthropic 的 AI 模型现已表明，这些情况下的转变也是连续的，证实了数学界数十年来的猜测。

意义与反思：AI 时代数学何为

Jahnel 说，看到一项在他看来本可让人类获得菲尔兹奖的工作由 AI 解决，会引发许多问题。例如，未来这样的奖项还会存在吗？如果存在，谁会获奖？他补充说，菲尔兹奖经常、但并非总是授予证明定理的工作；人类是否还能再次进入这样的名单，值得怀疑。

也许这些奖项需要被重新想象，数学本身也需要。Jahnel 说：“数学家不再把证明猜想当作自信和存在理由。”但数学包含的内容远不止于此，还包括提出猜想、把证明和洞见转化到人类世界，并将其纳入教科书。

Duminil-Copin 在其文章中表达了类似观点：“一个数学问题远不止是一个等待被证明的定理……它是夜晚的灯塔：照亮并引导数学家在美学和科学上的漫游。”他认为，理解不只通过定理和证明获得，也通过挫折获得。例如，在他自己的职业生涯中，寻找渗流理论圣杯的尝试带来了其他洞见。人们希望，随着 AI 模型在数学中的使用日益增加，这些发现不会丢失。

文章原载于 Spektrum der Wissenschaft，经许可转载；它由德语原文翻译，翻译过程有人工智能协助，并由编辑审阅。