AI 解开 79 年前六维球面数学之谜

导语：一个持续 79 年的问题

六维球面能否用虚数来描述？这个问题困扰专家数十年。如今，人工智能似乎给出了答案。Levent Alpöge 在 Anthropic 用 AI 解决了又一个开放数学问题。此前，他已攻克 Jacobian conjecture，并发现两条新的椭圆曲线。现在，他把目标对准 1947 年 Hopf 问题：六维球面能否完全用复数——包含看似不可能的 -1 的平方根——来描述。按 Alpöge 的说法，答案是肯定的，尽管结果仍需验证。

背景：Hopf 问题与复结构

• 一些几何对象，例如普通球面（存在于三维空间中的二维曲面），具有复结构。这意味着有一种简单方式，为球面上的每一点分配一个不同的复数。

• 其优势在于，可用于复数的数学工具远多于通常的“实数”，这让某些计算更容易。普通球面上的复结构曾产生深远影响，例如把其表面复杂而丑陋的方程，与简单的多项式方程联系起来。

• 1947 年，德国数学家 Heinz Hopf 在一篇论文中提出：高维球面呢？他证明，高维球面并不具有复结构。但他无法证明其中一种情况：六维球面。

• 此后，众多专家反复研究这一问题，提出过支持或反对六维球面存在复结构的证据，但无人成功证明。

AI 证明与数学界验证

• Alpöge 使用 Anthropic 内部版本的大语言模型 Claude，来做人类未能做到的事。2026 年 8 月 23 日，他发布一份 100 多页文档，声称证明六维球面确实具有复结构。为完成证明，AI 显然生成了一个复三维结构，并证明它精确表示六维球面。

• 不幸的是，完整文档几乎难以理解。LLM 往往以无帮助的方式解释证明：在次要细节上花费过多时间，却略过重要步骤。

• 德国马尔堡大学数学家 Ilka Agricola 表示，这种缺乏透明度是科技公司公告的典型现象：“你不知道需要多少提示才能得到结果，也不知道需要多少人工微调，等等。”随后，数学界必须验证该声明。

• 数学界立即行动。几天内，他们重建了证明。杜克大学数学家 Robert L. Bryant 说：“似乎正在形成一种共识：这个构造是合理的。”8 月 27 日，伊利诺伊大学芝加哥分校的 Philip Engel 在其网站发布了更具教学性的解释，说明 LLM 的过程。大约同时，OpenAI 研究员 Boris Alexeev 成功形式化该证明，用编程语言 Lean 逐步验证其正确性。

• Engel 说：“这些‘新几何’的例子已经变得非常罕见和珍贵。世界上有一个新的几何对象，我们现在知道它并能探索它。”

意义与后续

• 与此同时，Alpöge 继续探索其他数学谜团。在与数学家 Tristan Buckmaster 的合作中，他在 Navier-Stokes 问题上取得重大进展。该问题最近因 OpenAI 声称找到解决方案而登上头条。

• 文章说明，较早版本最初发表于 Spektrum der Wissenschaft，经许可更新；它从德文原版翻译而来，翻译过程有人工智能协助，并由编辑审核。